জটিল সংখ্যার প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী sujan prodhan

bysujan prodhan -
0

জটিল সংখ্যার প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী

  1. i এর শক্তি
    • i2=−1

    • i3=−i
    • i4=1
    • i(4n+p)=ip যেখানে n এবং p পূর্ণ সংখ্যা এবং0≤p≤4 . m পূর্ণ সংখ্যা হলে im কে ±i অথবা±1 এর আকারে প্রকাশ করা যায়।
      • উদাহরণ: i38=i4.9+2=i2=−1 
      i67=i4.16+3=i3=i2i=−i
  2. জটিল সংখ্যার পোলার আকার:
    3. z=x+iy এর পোলার আকৃতি r(cosθ+isinθ)যখন x=rcosθ,y=rsinθ
    • মডুলাস, z=|z|=√x2+y2
    • আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(
      y
      x
      )

    যদি −π<θ<π হয়, তবে θ কে মুখ্য আর্গুমেন্ট বলা হয়।
  3. চারটি চতুর্ভাগে অবস্থিত বিন্দুগুলোর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট:

    • ১ম চতুর্ভাগে : ১ম চতুর্ভাগে P(x,y) বিন্দুর 
      মডুলাস =√x2+y2
      ও আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(
      y
      x
      )

    • ২য় চতুর্ভাগে : ২য় চতুর্ভাগে P(−x,y) বিন্দুর 
      মডুলাস = √x2+y2 
      ও আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(
      y
      −x
      )       
      ∴ আর্গুমেন্টের মুখ্যমান =π−tan−1(
      y
      x
      )

    • ৩য় চতুর্ভাগে : ৩য় চতুর্ভাগে P(−x,−y) বিন্দুর 
      মডুলাস =√x2+y2 
      ও আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(
      −y
      −x
      )       
      ∴ আর্গুমেন্টের মুখ্যমান =π+tan−1(
      y
      x
      )

    • ৪র্থ চতুর্ভাগে : ৪র্থ চতুর্ভাগে P(x,−y) বিন্দুর 
      মডুলাস =√x2+y2 
      ও আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(
      −y
      x
      )       
      ∴ আর্গুমেন্টের মুখ্যমান =2π−tan−1(
      y
      x
      )
  4. এককের ঘনমূল: এককের ঘনমূল ৩টি। যথা: 1(একমাত্র বাস্তব মূল), ω=
    −1+√−3
    2
     (জটিল),ω2=
    −1−√−3
    2
     (জটিল)।
    5. এককের ঘনমূলগুলির ধর্ম:
    • এককের ঘনমুলগুলির সমষ্টি শূন্য।∴1+ω+ω2=0
    • এককের জটিল ঘনমূল দুটি একটি অপরটির বর্গ।
    • এককের জটিল ঘনমূল দুটি একটি অপরটির বিপরীত। ∴ω3=1∴ω=
      1
      ω2
    • ω3=1 এবং ω3n+p=ωp , যেখানে n,p পূর্ণ সংখ্যা এবং 0≤p≤3. m পূর্ণ সংখ্যা হলে ωmকে 1,ω,ω2 আকারে প্রকাশ করা যায়।
      উদাহরণ: ω13=ω3.4+1=ω;ω−16=ω−18+2=ω2
    • |z1z2|=|z1||z2|
    • |
      z1
      z2
      |      =
      |z1|
      |z2|
    • arg⁡(z1z2)=arg⁡ z1 +arg⁡ z2 ;
    • arg⁡(
      z1
      z2
      )      =arg⁡ z1 -arg⁡ z2

      • −π < arg⁡ z < pi

.
Tags
أحدث أقدم