জটিল সংখ্যার প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী sujan prodhan

জটিল সংখ্যার প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী

1. i এর শক্তি
• i2=−1
  
  
• i3=−i
• i4=1
• i(4n+p)=ip যেখানে n এবং p পূর্ণ সংখ্যা এবং0≤p≤4 . m পূর্ণ সংখ্যা হলে im কে ±i অথবা±1 এর আকারে প্রকাশ করা যায়।
উদাহরণ: i38=i4.9+2=i2=−1 
i67=i4.16+3=i3=i2i=−i
2. জটিল সংখ্যার পোলার আকার:
z=x+iy এর পোলার আকৃতি r(cosθ+isinθ)যখন x=rcosθ,y=rsinθ
• মডুলাস, z=|z|=√x2+y2
• আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(

  y

  x

  )

যদি −π<θ<π হয়, তবে θ কে মুখ্য আর্গুমেন্ট বলা হয়।
3. চারটি চতুর্ভাগে অবস্থিত বিন্দুগুলোর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট:


• ১ম চতুর্ভাগে : ১ম চতুর্ভাগে P(x,y) বিন্দুর 
  মডুলাস =√x2+y2
  ও আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(

  y

  x

  )


• ২য় চতুর্ভাগে : ২য় চতুর্ভাগে P(−x,y) বিন্দুর 
  মডুলাস = √x2+y2 
  ও আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(

  y

  −x

  ) 
  ∴ আর্গুমেন্টের মুখ্যমান =π−tan−1(

  y

  x

  )


• ৩য় চতুর্ভাগে : ৩য় চতুর্ভাগে P(−x,−y) বিন্দুর 
  মডুলাস =√x2+y2 
  ও আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(

  −y

  −x

  ) 
  ∴ আর্গুমেন্টের মুখ্যমান =π+tan−1(

  y

  x

  )


• ৪র্থ চতুর্ভাগে : ৪র্থ চতুর্ভাগে P(x,−y) বিন্দুর 
  মডুলাস =√x2+y2 
  ও আর্গুমেন্ট, argz=θ=tan−1(

  −y

  x

  ) 
  ∴ আর্গুমেন্টের মুখ্যমান =2π−tan−1(

  y

  x

  )
4. এককের ঘনমূল: এককের ঘনমূল ৩টি। যথা: 1(একমাত্র বাস্তব মূল), ω=

   −1+√−3

   2

    (জটিল),ω2=

   −1−√−3

   2

    (জটিল)।
5. এককের ঘনমূলগুলির ধর্ম:
   • এককের ঘনমুলগুলির সমষ্টি শূন্য।∴1+ω+ω2=0
   • এককের জটিল ঘনমূল দুটি একটি অপরটির বর্গ।
   • এককের জটিল ঘনমূল দুটি একটি অপরটির বিপরীত। ∴ω3=1∴ω=

     1

     ω2

   • ω3=1 এবং ω3n+p=ωp , যেখানে n,p পূর্ণ সংখ্যা এবং 0≤p≤3. m পূর্ণ সংখ্যা হলে ωmকে 1,ω,ω2 আকারে প্রকাশ করা যায়।
     উদাহরণ: ω13=ω3.4+1=ω;ω−16=ω−18+2=ω2
6. • |z1z2|=|z1||z2|
   • |

     z1

     z2

     |=

     |z1|

     |z2|

   • arg⁡(z1z2)=arg⁡ z1 +arg⁡ z2 ;
   • arg⁡(

     z1

     z2

     )=arg⁡ z1 -arg⁡ z2
   
   −π < arg⁡ z < pi

.